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一、什么是CRC校验？

  CRC（Cyclic Redundancy Check，循环冗余校验）是一种广泛使用的错误检测技术，主要用于检测数据在传输或存储过程中是否发生了错误。它通过对数据进行特定的数学运算，生成一个固定长度的校验码（CRC 校验码），并将其附加到数据后面。接收方在收到数据时，可以通过相同的运算来验证数据的完整性。

  CRC 校验的基本思路是将数据视为一个多项式，并通过模 2 除法（即不考虑进位的二进制除法）来计算校验值：

1. 选择生成多项式：CRC 校验使用一个预定义的生成多项式（通常是一个二进制数），这个多项式的选择会影响 CRC 校验的性能和错误检测能力。
2. 数据多项式：将待校验的数据视为一个多项式，使用二进制表示。
3. 模 2 除法：用数据多项式除以生成多项式，得到的余数就是 CRC 校验码。
4. 附加校验码：将 CRC 校验码附加到原始数据后面，形成完整的数据包。

二、实现CRC校验原理以及步骤

2.1 用多项式表示二元码数据

   将输入的数据看成一个多项式，其多项式的公式如下：

$$G(X)=g_n{x}^n+g_{n-1}{x}^{n-1}+g_{n-2}{x}^{n-2}+g_2{x}^2+g_1{x}^1+g_0{x}^0=\sum _{i=0}^{i=n}{g}_i{x}^i$$

• $g_i$表示二元码中第i位的数
• $x^i$表示二元码中第i位

   例如：一个多项式为$$G(X)=x^4+x+1=1\ast x^4+0\ast x^3+0\ast x^2+1\ast x^1+1\ast x^0$$
则这个多项式表示数据为{1，0，0，1，1}，反之亦然，如果知道一个数据，也就知道这个数据对应的多项式。

2.2 选择一个生成多项式作为校验

   生成多项式满足：仅仅能够被1和自身整除，常见的生成多项式有以下：

  这里面多项式的宽度以及多项式的值是去掉了最高位1的，比如我们上面举例$G(X)=x^4+x+1$表示为{1，0，0，1，1}，一共五位，换成16进制为13。截图里去掉了最高位1，就变成了{0，0，1，1}宽度为4，初始值03。

2.3 计算CRC校验码

  在上面我们知道了二元序列的多项式表示，以及一些常见的生成多项式，我们就要计算出我们需要的CRC校验码，具体计算就是除法取余数。例如：我们需要传输的数据为：{1，0，0，1，0，1，0，1}，我们选择CRC4的生成多项式$G(X)=x^4+x+1$来计算CRC校验码。

1. 将需要传输的数据最低位补n个0，这里的n是指生成多项式中x的最高次方，这里CRC4的最高次方是4，因此需要在数据最低为补4个0，变成为{1，0，0，1，0，1，0，1，0，0，0，0}

2. 用补0后的数据整除生成多项式取得余数，二进制取余数用模2除法，步骤如下：

3. 将余数{0，1，0，0}就是CRC校验码，填充到传输数据的末尾即可得到整个CRC编码{1，0，0，1，0，1，0，1，0，1，0，0}

  我们用CRC校验生成网站，计算一下本次结果和我们手算的是否一致，{1，0，0，1，0，1，0，1}换成16进制为95，打开网站：

  可以看到我们用网站计算的结果和手算的结果一致。

三、CRC判断数据是否错误的原理以及步骤

  接收方收到整个数据包后，将整个数据对约定好的生成多项式进行模2取余操作，最后判断余数是否为0，如果余数为0表示数据传输无误，如果不为0表示数据传输有错，还是用上面的例子来操作一遍：

3.1 将收到的数据与生成多项式求余

  如果余数为0，就表示这次收到的数据没有发生错误；如果数据包发生了错误，无论1位还是多位，余数一定不为0；

3.2 数据发生错误再进行CRC校验判断

  我们随机将收到的数据两位取反，表示收到的数据收到噪声干扰出错了，我们再与生成多项式取余操作：

  由此可见，如果传输过程中，数据发生了错误最终CRC校验码不等于0。

四、FPGA实现CRC

  实现CRC的关键就是取余数，在FPGA中可以使用线性移位反馈寄存器来实现取余。

4.1 线性移位反馈寄存器

  LFSR（线性反馈移位寄存器，Linear Feedback Shift Register）是一种用于生成伪随机序列的电路或算法。它在数字电路、通信系统和密码学中有广泛的应用。LFSR 通过使用线性反馈机制来生成新的位，通常用于加密、错误检测和伪随机数生成等领域。

LFSR的基本组成：

1. 寄存器：LFSR 由一系列的位存储单元（通常是触发器）组成，这些位存储在寄存器中。寄存器的长度通常用n表示。
2. 反馈多项式：LFSR 的反馈是通过一个反馈多项式来实现的，该多项式定义了哪些位会参与反馈计算。反馈多项式通常表示为：$G(X)=g_n{x}^n+g_{n-1}{x}^{n-1}+g_{n-2}{x}^{n-2}+g_2{x}^2+g_1{x}^1+g_0{x}^0$
3. 移位操作：在每个时钟周期，LFSR 会将寄存器中的所有位向右移位，并将新的反馈位放入寄存器的最高位
   

4.2 LFSR工作原理

• 首先将移位寄存器里面的寄存器赋非0初值，也叫种子。刚开始$R_0，R_1，R_2，......，R_n-1$表示种子。
• 然后根据生成多项式，来确定反馈位（通常是某些位的异或结果）；即：$g_0，g_1，g_2，g_3，.......，g_n-2，g_n-1，g_n$表示抽头系数。
• 最后移位，将输入的数据低n位从高到低移动进来，移动结束后，$R_0，R_1，R_2，......，R_n-1$表示余数。

4.3 仿真验证

  根据前面的CRC计算原理以及LFSR原理，我们搭建电路如上所示，我们还是用最开始的例子：传输的数据为{1，0，0，1，0，1，0，1}，选择生成多项式$G(X)=x^4+x+1$，仿真代码如下：

`timescale 1ns / 1psmodule tb_crc4_lfsr();reg                                                 sys_clk ;reg                                                 sys_rst ;reg                                                 din     ;//发送信息为1001_0101
//后面补4个0就是10010101_0000
initial beginsys_clk = 0;sys_rst = 1;din = 0;#200@(posedge sys_clk)sys_rst = 0;#500@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 0;#200 $stop;
endalways #5 sys_clk = ~sys_clk;crc4_lfsr u_crc4_lfsr(.sys_clk         ( sys_clk        	),.sys_rst         ( sys_rst         	),.din             ( din             	),.crc_code_valid  (   				),.crc_code        (         			)
);
endmodule

  可以看到我们计算出来的CRC校验码为{0，1，0，0}和我们前面计算的一致。我们将计算好的CRC校验码加到发送信息后四位，再经过LFSR看一下结果，仿真代码如下：

`timescale 1ns / 1psmodule tb_crc4_lfsr();reg                                                 sys_clk ;reg                                                 sys_rst ;reg                                                 din     ;//发送信息为1001_0101
//后面补4个0就是10010101_0000
initial beginsys_clk = 0;sys_rst = 1;din = 0;#200@(posedge sys_clk)sys_rst = 0;#500@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 0;#200 //加入前面计算好的余数0100，总共信息位就是10010101_0100@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 0;#200 $stop;
endalways #5 sys_clk = ~sys_clk;crc4_lfsr u_crc4_lfsr(.sys_clk         ( sys_clk        	),.sys_rst         ( sys_rst         	),.din             ( din             	),.crc_code_valid  (   				),.crc_code        (         			)
);
endmodule

   可以看到，将计算好的余数添加到信息位后面，再经过LFSR后得到余数为0，表示数据无误。我们随机将打反一位数据，仿真代码如下：

`timescale 1ns / 1psmodule tb_crc4_lfsr();reg                                                 sys_clk ;reg                                                 sys_rst ;reg                                                 din     ;//发送信息为1001_0101
//后面补4个0就是10010101_0000
initial beginsys_clk = 0;sys_rst = 1;din = 0;#200@(posedge sys_clk)sys_rst = 0;#500@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 0;#200 //加入前面计算好的余数0100，总共信息位就是10010101_0100，我们随机打反一位数据，信息变成 11010101_0100@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 1;@(posedge sys_clk)din = 0;@(posedge sys_clk)din = 0;#200 $stop;
endalways #5 sys_clk = ~sys_clk;crc4_lfsr u_crc4_lfsr(.sys_clk         ( sys_clk        	),.sys_rst         ( sys_rst         	),.din             ( din             	),.crc_code_valid  (   				),.crc_code        (         			)
);
endmodule

   可以看到，如果传输过程中，数据位发生了错误，那么经过解码后的余数不为0；