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跳表（Skip List）是一种概率性数据结构，它通过在普通有序链表的基础上增加多级索引层来实现快速的查找、插入和删除操作。跳表的效率可以与平衡树相媲美，其操作的时间复杂度也是O(log n)，但跳表的结构更简单，更易于实现。

跳表的核心特征

• 多层结构：跳表包含多个层级。最底层（第0层）包含所有的元素。每一层都是下一层的“快速通道”，每个元素出现在上层的概率通常是1/2。
• 头节点：跳表有一个头节点（head），它在所有层级中都存在。头节点的值通常不存储实际的数据，它的目的是为了搜索、插入和删除操作提供一个统一的起点。
• 随机层级：每个新插入的节点的层数是通过随机过程决定的，以确保跳表的平衡性。这意味着高层索引不会过于密集或稀疏。

数据结构组件

1. 节点（SkipListNode）：每个节点包含的信息有：
   • 值（value）：存储的数据值。
   • 前进指针（forward）：一个指针数组，指向同一层级的下一个节点以及上层对应的节点。
2. 头节点（Head）：是一个特殊的节点，它的forward指针数组的长度等于跳表的最大层数。它在所有层级上都指向该层的第一个实际节点（如果存在）。
3. 层数（Level）：跳表当前的最大层数。这个值是动态的，随着新节点的插入可以增加。

操作原理

• 搜索（Search）：从头节点开始，在最高层级搜索，如果当前节点的下一个节点的值小于目标值，则向前移动；如果大于目标值，则下降到下一层级继续搜索，直至找到目标值或搜索失败。
• 插入（Insert）：首先通过随机过程确定新节点的层数。然后从最高层开始寻找插入位置，逐层向下直到达到新节点应存在的最低层级。在每一层，将新节点插入到适当的位置，并更新相关节点的指针。
• 删除（Delete）：与搜索类似，首先定位要删除的节点。然后从其所在的最高层开始，逐层向下删除节点，并更新指针。

优点与应用

• 简单性：跳表的数据结构和算法相对简单，特别是与平衡树和B树等结构相比。
• 动态性：跳表可以很容易地支持动态数据集合的操作，如实时插入和删除。
• 效率：对于大多数操作，跳表可以提供对数时间复杂度的性能，适用于需要快速搜索操作的场景，如数据库索引和内存数据库。

跳表通过简单的随机化过程来避免复杂的重平衡操作，使得它成为一种既高效又易于实现的数据结构选项。

简单的跳表实现示例

import java.util.Random;class SkipListNode {int value;SkipListNode[] forward; // 指向不同层的指针数组public SkipListNode(int value, int level) {this.value = value;this.forward = new SkipListNode[level + 1];}
}public class SkipList {private static final float P = 0.5f;private static final int MAX_LEVEL = 16;private SkipListNode head;private int level;private Random random;public SkipList() {level = 0;head = new SkipListNode(0, MAX_LEVEL);random = new Random();}// 随机生成节点的层数private int randomLevel() {int lvl = 1;while (random.nextFloat() < P && lvl < MAX_LEVEL) {lvl++;}return lvl;}// 插入节点public void insert(int value) {int lvl = randomLevel();SkipListNode newNode = new SkipListNode(value, lvl);SkipListNode current = head;SkipListNode[] update = new SkipListNode[MAX_LEVEL + 1];for (int i = level; i >= 0; i--) {while (current.forward[i] != null && current.forward[i].value < value) {current = current.forward[i];}update[i] = current;}for (int i = 0; i <= lvl; i++) {newNode.forward[i] = update[i].forward[i];update[i].forward[i] = newNode;}if (lvl > level) {level = lvl;}}// 查找节点public boolean search(int value) {SkipListNode current = head;for (int i = level; i >= 0; i--) {while (current.forward[i] != null && current.forward[i].value < value) {current = current.forward[i];}}current = current.forward[0];return current != null && current.value == value;}// 删除节点public void delete(int value) {SkipListNode[] update = new SkipListNode[MAX_LEVEL + 1];SkipListNode current = head;for (int i = level; i >= 0; i--) {while (current.forward[i] != null && current.forward[i].value < value) {current = current.forward[i];}update[i] = current;}current = current.forward[0];if (current.value == value) {for (int i = 0; i <= level; i++) {if (update[i].forward[i] != current) break;update[i].forward[i] = current.forward[i];}while (level > 0 && head.forward[level] == null) {level--;}}}// 打印跳表的内容public void display() {System.out.println("SkipList: ");for (int i = 0; i <= level; i++) {SkipListNode node = head.forward[i];System.out.print("Level " + i + ": ");while (node != null) {System.out.print(node.value + " ");node = node.forward[i];}System.out.println();}}
}// 使用示例
public class Main {public static void main(String[] args) {SkipList list = new SkipList();list.insert(3);list.insert(6);list.insert(7);list.insert(9);list.insert(12);list.insert(19);list.insert(17);list.display();System.out.println("Searching 6: " + list.search(6));System.out.println("Searching 15: " + list.search(15));list.delete(6);System.out.println("After deleting 6: ");list.display();}
}

这段代码首先定义了SkipListNode类，它是跳表节点的结构，包括节点值和一个数组forward，数组中每个元素是对应层级的下一个节点的引用。SkipList类实现了跳表，包括初始化、插入、查找、删除和打印跳表的方法。

• insert方法用于插入新的节点。
• search方法用于查找一个值，如果找到，则返回true。
• delete方法用于删除一个值。
• display方法用于打印跳表的所有层级和节点。

通过一个具体的例子来说明跳表的插入过程

假设我们有一个跳表，它当前的状态如下，其中每一行代表一个层级（层级0是最底层，包含所有元素）：

层级3：1 --------------------------------> 9
层级2：1 ------------> 5 ------------> 9
层级1：1 ----> 3 ----> 5 ----> 7 ----> 9
层级0：1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 6 -> 7 -> 9

现在，我们想要插入一个新的节点，值为8，并假设通过随机过程，决定新节点8将出现在层级0、1和2上（不出现在层级3上）。下面是插入过程的步骤：

步骤1：寻找每一层的插入位置

从跳表的最高层（在这个例子中是层级3）开始寻找，直到找到比插入值小的最大节点。因为8不会被插入到层级3，我们直接从层级2开始：

• 层级2：从1开始，遍历到5，因为9大于8，所以5是层级2的插入位置。
• 层级1：同样从1开始，遍历到5，然后到7，因为9大于8，所以7是层级1的插入位置。
• 层级0：从1开始，按顺序遍历，直到7，因为9大于8，所以7是层级0的插入位置。

步骤2：插入节点并更新指针

• 层级2：在5和9之间插入8，更新5的下一个指针为8，8的下一个指针为9。
• 层级1：在7和9之间插入8，更新7的下一个指针为8，8的下一个指针为9。
• 层级0：在7和9之间插入8，更新7的下一个指针为8，8的下一个指针为9。

插入8后，跳表变为：

层级3：1 --------------------------------> 9
层级2：1 ------------> 5 -------> 8 ----> 9
层级1：1 ----> 3 ----> 5 ----> 7 -> 8 -> 9
层级0：1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 6 -> 7 -> 8 -> 9

步骤3：调整跳表的总层数（如果需要）

在这个例子中，新插入的节点8并没有增加跳表的总层数，因此不需要调整。

通过这个例子，你可以看到插入过程如何在每一层找到正确的插入位置，并更新指针来维护跳表的结构。这个过程确保了跳表的搜索效率，使得搜索、插入和删除操作的时间复杂度都为O(log n)。