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目录

一. AVL的概念

二 AVL树的插入

2.1先按二叉搜索树的规则插入

2.2 AVL的重点：平衡因子更新

3.1 更新后parent的平衡因子等于0。

        3.2 更新后parent的平衡因子等于1 或 -1，需要继续往上更新。

 3.3 更新后parent的平衡因子等于2 或 -2，需要使用旋转处理。

三.旋转 和 平衡因子等于2 或 -2 的处理

1.右单旋(把左孩子变成爸爸) 

2.左单旋(把右孩子变成爸爸) 

3.左右双旋（把LR_Child 变为爸爸）

4.左右双旋（把RL_Child 变为爸爸）

总代码：

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一. AVL的概念

1.AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树，AVL是一颗空树，或者具备下列性质的二叉搜索树:它的
左右子树都是AV树，且 左右子树的高度差的绝对值不超过1 。AVL树是一颗高度平衡搜索二叉树，通过控制高度差去控制平衡！！！

2.AVL树实现这里我们引入一个平衡因子(balance factor)的概念，每个结点都有一个平衡因子，任何结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1
AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡
就像一个风向标一样。

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二 AVL树的插入

AVL节点 的大概结构                                                  AVL树 的大概结构

  

2.1先按二叉搜索树的规则插入

具体可以看这篇

二叉搜索树-CSDN博客

这里是二叉搜索树的，简单的代码总结

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2.2 AVL的重点：平衡因子更新

 因为：左右子树的高度差的绝对值不超过1 。

这里我们可以规定

1. 平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度 。

2. 插入结点时，会增加高度，如果新增结点 在parent的右子树，parent的平衡因子++，新增结点在parent的左子树，parent平衡因子--，parent的平衡因子初始化为 0.

3. parent的停止更新条件分为3种：

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3.1 更新后parent的平衡因子等于0。

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        3.2 更新后parent的平衡因子等于1 或 -1，需要继续往上更新。

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上面的总代码：

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 3.3 更新后parent的平衡因子等于2 或 -2，需要使用旋转处理。

下面为具体的分析：

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三.旋转 和 平衡因子等于2 或 -2 的处理

旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

这里我们规定：

1. 在parent的左边 插入孩子，parent的平衡因子 -  1

2 .在parent的右边 插入孩子，parent的平衡因子 + 1

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1.右单旋(把左孩子变成爸爸) 

需要 单纯的左边高！！！ 才可以使用

比如 if(parent->_bf == -2 && SubR->_bf == -1)

如图：

分析：

因为 左右子树的高度差的绝对值不超过1 

我们需要把 a 往上提，把parent往下压 ，让SubL变成爸爸 才可以解决。

总的来说就是，左边高就把左边提上来，把右边压下去。

在这种情况下 他们的平衡因子就会为0.

代码为：

RotateR：

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2.左单旋(把右孩子变成爸爸) 

需要 单纯的右边高！！！ 才可以使用

比如 if(parent->_bf == 2 && SubR->_bf == 1)

如图：

分析：

因为 左右子树的高度差的绝对值不超过1 

我们需要把 a 往上提，把parent往下压 ，让SubR变成爸爸 才可以解决。

总的来说就是，右边高就把右边提上来，把左边压下去。

在这种情况下 他们的平衡因子就会为0.

代码为：

RotateL：

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3.左右双旋（把LR_Child 变为爸爸）

需要 左边的右边高！！！ 才可以使用

如图所示：

当没插入节点时：

在LR_Child 的左边插入节点：

具体过程

1. 让节点5 左旋转：

2.让节点8 右旋转

平衡因子：

在LR_Child 为空时

平衡因子 都为0.

在LR_Child 的左边插入节点：

LR_Child  平衡因子 为 0

L_Child 平衡因子 为 0

parent 平衡因子为 1

在LR_Child 的右边插入节点：

LR_Child  平衡因子 为 0

L_Child 平衡因子 为 -1

parent 平衡因子为 0

代码：

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4.左右双旋（把RL_Child 变为爸爸）

太长了，随便写点了，脑子坏了！！！

在LR_Child 为空时

平衡因子 都为0.

在LR_Child 的右边插入节点：

RL_Child  平衡因子 为 0

R_Child 平衡因子 为 0

parent 平衡因子为 -1

在RL_Child 的左边插入节点：

RL_Child  平衡因子 为 0

R_Child 平衡因子 为 1

parent 平衡因子为 0

代码：

---

总代码：

#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;
template<class T>struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const T& data = T()): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _bf(0){}AVLTreeNode<T>* _pLeft;AVLTreeNode<T>* _pRight;AVLTreeNode<T>* _pParent;T _data;int _bf;   // 节点的平衡因子
};// AVL: 二叉搜索树 + 平衡因子的限制
template<class T>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<T> Node;
public:AVLTree(): _pRoot(nullptr){}// 在AVL树中插入值为data的节点bool Insert(const T& data){//如果树为空就建立一个根节点if (_pRoot == nullptr){_pRoot = new Node(data);}//树不为空else{Node* parent = nullptr;Node* tmp = _pRoot;//用cur找位置 while (tmp){//插入值比当前结点小往左走if (tmp->_data < data){parent = tmp;tmp = tmp->_pRight;}//插入值比当前结点大往右走else if (tmp->_data > data){parent = tmp;tmp = tmp->_pLeft;}else{assert(false);}}//在parent的左边或者右边插入插入Node* cur = new Node(data);if (parent->_data < data){parent->_pRight = cur;cur->_pParent = parent;}else if (parent->_data > data){parent->_pLeft = cur;cur->_pParent = parent;}//最困难的平衡因子部分while (parent){//cur插入在右边，平衡因子++if (cur == parent->_pRight)parent->_bf++;//反之亦然elseparent->_bf--;//平衡因子为0 结束if (parent->_bf == 0)break;//平衡因子为1 或 -1，往上更新else if(parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_pParent;}else if(parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2){//...// //单纯左边高if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);parent->_bf = 0;cur->_bf = 0;}//单纯右边高else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);parent->_bf = 0;cur->_bf = 0;}//左边的右边高else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}//右边的左边高else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}}return true;}// AVL树的验证bool IsAVLTree(){return _Height(_pRoot);}void InOrder(){return _InOrder(_pRoot);}size_t Height(){return _Height(_pRoot);}
private:// 根据AVL树的概念验证pRoot是否为有效的AVL树bool _IsAVLTree(Node* pRoot){if (pRoot == nullptr)return true;int left = _Height(pRoot->_pLeft);int right = _Height(pRoot->_pRight);int differ = right - left;if (differ >= 2 || differ <= -2)return false;if (differ != pRoot->_bf)return false;return _IsAVLTree(pRoot->_pLeft) && _IsAVLTree(pRoot->_pRight);}void _InOrder(Node* cur){if (cur == nullptr)return;_InOrder(cur->_pLeft);cout << cur->_data << " ";_InOrder(cur->_pRight);}size_t _Height(Node* pRoot){if (pRoot == nullptr)return 0;size_t left = _Height(pRoot->_pLeft);size_t right = _Height(pRoot->_pRight);return right > left ? right + 1 : left + 1;}// 右单旋void RotateR(Node* pParent){Node* L_Child = pParent->_pLeft;Node* LR_Child = L_Child->_pRight;//左边孩子的 右边的孩子 和parent相互连接if (LR_Child)LR_Child->_pParent = pParent;pParent->_pLeft = LR_Child;//左孩子变在上面 右边连接parent ,grandfather 相互连接Node* grandfather = pParent->_pParent;pParent->_pParent = L_Child;L_Child->_pRight = pParent;L_Child->_pParent = grandfather;if (grandfather == nullptr){_pRoot = L_Child;}else{if (grandfather->_pLeft == pParent)grandfather->_pLeft = L_Child;elsegrandfather->_pRight = L_Child;}}// 左单旋void RotateL(Node* pParent){Node* R_Child = pParent->_pRight;Node* RL_Child = R_Child->_pLeft;//if(RL_Child)RL_Child->_pParent = pParent;pParent->_pRight = RL_Child;Node* grandfather = pParent->_pParent;pParent->_pParent = R_Child;R_Child->_pLeft = pParent;R_Child->_pParent = grandfather;if (grandfather == nullptr){_pRoot = R_Child;}else{if (grandfather->_pLeft == pParent)grandfather->_pLeft = R_Child;elsegrandfather->_pRight = R_Child;}}// 右左双旋void RotateRL(Node* pParent){Node* RChild = pParent->_pRight;Node* RLChild = RChild->_pLeft;//旋转完之后再用bf来判断平衡因子int bf = RLChild->_bf;RotateR(RChild);RotateL(pParent);if (bf == 0){pParent->_bf = 0;RChild->_bf = 0;RLChild->_bf = 0;}else if (bf == 1){RLChild->_bf = 0;RChild->_bf = 0;pParent->_bf = -1;}else if (bf == -1){RLChild->_bf = 0;RChild->_bf = 1;pParent->_bf = 0;}elseassert(false);}// 左右双旋void RotateLR(Node* pParent){Node* LChild = pParent->_pLeft;Node* LRChild = LChild->_pRight;int bf = LRChild->_bf;RotateL(LChild);RotateR(pParent);if (bf == 0){LRChild->_bf = 0;pParent->_bf = 0;LChild->_bf = 0;}else if (bf == 1){LRChild->_bf = 0;LChild->_bf = -1;pParent->_bf = 0;}else if (bf == -1){LRChild->_bf = 0;LChild->_bf = 0;pParent->_bf = 1;}elseassert(false);}private:Node* _pRoot;};