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问题陈述

我们有两个多臂老虎机（Multi-Armed Bandit），分别称为左边的老虎机和右边的老虎机。每个老虎机的奖励服从不同的正态分布：

• 左边的老虎机：奖励服从均值为 500，标准差为 50 的正态分布，即 N(500,50)N(500,50)。

• 右边的老虎机：奖励服从均值为 550，标准差为 100 的正态分布，即 N(550,100)N(550,100)。

我们的目标是使用 ε-greedy 强化学习算法（ε=0.1，初始值为 998）来估计这两个老虎机的奖励期望值。具体来说，我们需要通过多次尝试（拉动手臂）来逐步更新对每个老虎机奖励的估计，最终找到两个老虎机的奖励期望值。

问题分解

1. 目标：

   • 使用 ε-greedy 算法估计两个老虎机的奖励期望值。

   • 通过多次尝试，逐步更新对每个老虎机奖励的估计。

2. ε-greedy 算法：

   • ε=0.1：表示有 10% 的概率进行随机探索（随机选择一个老虎机），90% 的概率进行利用（选择当前估计奖励最高的老虎机）。

   • 初始值=998：表示每个老虎机的初始奖励估计值为 998。

3. 奖励分布：

   • 左边的老虎机：N(500,50)N(500,50)

   • 右边的老虎机：N(550,100)N(550,100)

4. 输出：

   • 经过多次尝试后，输出两个老虎机的奖励期望值的估计结果

   • 通过运行代码，我们可以得到一个图表，显示两个老虎机奖励期望估计值随着时间的变化情况。随着拉动次数的增加，两个估计值应该逐渐接近它们各自的真实奖励期望值（500 和 550）。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 参数初始化
epsilon = 0.1  # ε-greedy算法中的ε
Q1 = 998  # 左边老虎机的奖励期望估计
Q2 = 998  # 右边老虎机的奖励期望估计
n1 = 0  # 左边老虎机的拉动次数
n2 = 0  # 右边老虎机的拉动次数
num_plays = 10000  # 总共拉动的次数# 奖励的真实分布
mu1, sigma1 = 500, 50  # 左边老虎机的真实奖励分布（均值，标准差）
mu2, sigma2 = 550, 100  # 右边老虎机的真实奖励分布（均值，标准差）# 用于存储结果
Q1_estimates = []
Q2_estimates = []# ε-greedy策略的实验
for t in range(num_plays):# 根据ε-greedy策略选择一个老虎机if np.random.random() < epsilon:action = np.random.choice([1, 2])  # 随机选择左或右else:action = 1 if Q1 > Q2 else 2  # 选择当前估计奖励最大的老虎机if action == 1:reward = np.random.normal(mu1, sigma1)  # 从左边老虎机获得奖励n1 += 1Q1 += (reward - Q1) / n1  # 更新左边老虎机的奖励期望估计Q1_estimates.append(Q1)else:reward = np.random.normal(mu2, sigma2)  # 从右边老虎机获得奖励n2 += 1Q2 += (reward - Q2) / n2  # 更新右边老虎机的奖励期望估计Q2_estimates.append(Q2)# 最终的奖励期望估计
print(f"最终左边老虎机的奖励期望估计: {Q1}")
print(f"最终右边老虎机的奖励期望估计: {Q2}")# 绘图
plt.figure(figsize=(12, 6))# 绘制左边老虎机奖励期望估计的变化
plt.plot(Q1_estimates, label="Left Slot Machine (Q1)", color="blue")# 绘制右边老虎机奖励期望估计的变化
plt.plot(Q2_estimates, label="Right Slot Machine (Q2)", color="red")# 绘制真实奖励期望值的参考线
plt.axhline(y=mu1, color="blue", linestyle="--", label="True Q1 (500)")
plt.axhline(y=mu2, color="red", linestyle="--", label="True Q2 (550)")# 图表设置
plt.title("Reward Estimation in ε-greedy Slot Machine Experiment")
plt.xlabel("Number of Plays")
plt.ylabel("Estimated Reward")
plt.legend(loc="best")
plt.grid(True)# 显示图表
plt.show()

显示结果如图：