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案例背景，有公司进行橡胶玩具的生产，一共生产两种产品，分别为橡皮鱼和橡皮鸭。

已知条件为：

1、公司的橡胶原材料能够生产500只橡皮鸭或者400条橡皮鱼。

2、生产效率为公司产量不会高于400只橡皮鸭和300条橡皮鱼。

3、每只橡皮鸭的利润是5元，每条橡皮鱼的利润是4元

4、公司以往的销售数据"historical_sales_data"请根据上述条件，得出生产橡皮鸭和橡皮鱼的数量最优解及最大利润是多少？

 

设生产橡皮鸭的数量为 x 只，橡皮鱼的数量为 y 条。

 

1. 确定约束条件：

 

- 原材料约束：由原材料能够生产 500 只橡皮鸭或者 400 条橡皮鱼，可得\frac{x}{500}+\frac{y}{400}=1。

- 生产效率约束：产量不高于 400 只橡皮鸭和 300 条橡皮鱼，即0\leq x\leq400，0\leq y\leq300。

2. 建立目标函数：

 

- 利润P = 5x + 4y。

3. 求解最优解：

 

- 通过线性规划方法求解。在满足约束条件的情况下，求利润最大化。

- 可以通过在可行域内分析目标函数的等高线来确定最优解。

 

首先考虑原材料约束\frac{x}{500}+\frac{y}{400}=1，当x = 0时，y = 400；当y = 0时，x = 500。连接这两点可得原材料约束线。

 

再结合生产效率约束0\leq x\leq400，0\leq y\leq300，确定可行域。

 

目标函数P = 5x + 4y的等高线为5x + 4y = C（C 为常数），斜率为-\frac{5}{4}。

 

通过分析可行域的顶点，来确定最大利润的点。

 

可行域的顶点有(0,0)、(400,0)、(0,300)、以及原材料约束线与生产效率约束线的交点。

 

交点可通过联立方程组\begin{cases}\frac{x}{500}+\frac{y}{400}=1\\x = 400\end{cases}，解得x = 400，y = 0（此交点已在已知顶点中）；或联立方程组\begin{cases}\frac{x}{500}+\frac{y}{400}=1\\y = 300\end{cases}，解得x=\frac{500}{4}，y = 300。

 

分别计算各顶点的利润：

 

- (0,0)时，P = 5\times0 + 4\times0 = 0。

- (400,0)时，P = 5\times400 + 4\times0 = 2000。

- (0,300)时，P = 5\times0 + 4\times300 = 1200。

- (\frac{500}{4},300)时，P = 5\times\frac{500}{4}+4\times300=\frac{2500}{4}+1200=\frac{2500 + 4800}{4}=\frac{7300}{4}=1825。

4. 结论：

 

- 生产橡皮鸭和橡皮鱼的数量最优解为生产 400 只橡皮鸭，不生产橡皮鱼。

- 最大利润为 2000 元。