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理论

1、完全背包即在0-1背包问题基础上，一个物品可以选择多次
2、通用解决办法：关键在递推过程

for i in range(len(weight)):  # 遍历商品for j in range(bagWeight, weight[i]-1, -1):  # 遍历背包容量  从大到小 0-1背包dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

for i in range(len(weight)):  # 遍历商品for j in range(weight[i], bagWeight+1):  # 遍历背包容量  从小到大 完全背包dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

背包问题都是在此基础上的变形：
递推公式：
最多装多少：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]); # nums[i]是价值
能否能装满：

• 思路1：最多装的等于包容量
• 思路2：True/Falsedp[j] = dp[j] or dp[j - nums[i]]

几种方法：dp[j] = dp[j] + dp[j - nums[i]]
装满背包所有物品的最小个数：dp[j] = min(dp[j], dp[j - nums[i]])

初始化：一维数组一般只需要初始dp[0]

遍历顺序：

• 0-1背包：
  二维dp数组01背包先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历
  一维dp数组01背包只能先遍历物品再遍历背包容量，且第二层for循环是从大到小遍历。（如果先背包再物品，由于从大到小遍历，最后dp中保留是只放物品0的情况；从大到小是为了防止对数据的覆盖，根本原因是物品只能使用一次）
• 完全背包：
  如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
  如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
  注：在一些题目中如果排列数和组合数不影响dp值，则遍历顺序无所谓，例322 零钱兑换

题目

面试要求：写出代码，分析初始化及遍历顺序

518. 零钱兑换 II

class Solution:def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:dp = [0]*(amount+1)# dp[j] 在coins[0]-[i]中选择硬币使其和为j的方法数# 初始化dp[0] = 1# 递推for i in range(len(coins)):for j in range(coins[i], amount+1):dp[j] = dp[j] + dp[j-coins[i]]return dp[-1]

注：遍历顺序不可调
先coins后amount得到的是组合数
先amount后coins得到的是排列数

遍历顺序问题参考：

解释：如果外层遍历的是coins（若coins=2），则在计算dp[j]时只会用到当前即之前的硬币（1，2），不会用到之后的硬币
而如果外层遍历的是amount（若amount=3），则在计算当前dp[j]（如coins=2）时必然会使用到之前的dp，而之前的dp是有coins=2之后的硬币5参与的，就是排列数的情况

322 零钱兑换

分析：和上题类似，只是求的是数量，注意理解dp[j]
在递推公式的地方有点变化，若加入当前硬币，硬币数要+1
dp初始化时要设为一个较大的数

class Solution:def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:dp = [amount+1]*(amount+1)  # 硬币数不可能为amount+1  设较大值是由于递推公式求较小# dp[j] : 在0-i内硬币中取，使金额为j的 最少硬币数目# 初始化dp[0] = 0# 递推公式for i in range(len(coins)):for j in range(coins[i], amount+1):dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]]+1)  # +1是放入了coins[i]# 输出if dp[-1]==amount+1:return -1else:return dp[-1]# return dp[-1] if dp[-1] < amount + 1 else -1

遍历顺序：这题可以内外层次序调换，不管是组合数还是排列数，硬币数目不变

279. 完全平方数

分析：
完全平方数就是商品可以反复使用——完全背包
要用商品凑满一个容量为n的包
求凑满所需的最少商品数
（和上面的零钱兑换问题一致）

class Solution:def numSquares(self, n: int) -> int:# 计算商品   即为一个数的平方  且我们知道所需的商品最大不超过ngoods = []for m in range(1,101):if m*m>n:breakgoods.append(m*m)# dp[j] 装满大小为n的包需要的最少商品数dp = [n+1]*(n+1)  # 设为较大值由于递推取较小dp[0] = 0# 递推for i in range(len(goods)):for j in range(goods[i], n+1):dp[j] = min(dp[j], dp[j-goods[i]]+1)  # 放入商品 商品数加1return dp[-1]

改进：无需知道商品具体值，即无需算出平方后的量，i**2是商品（python的循环体特性导致无法实现，c可以）

遍历顺序：由于问的是数量，排列或组合对求和的数的数量无影响，所以顺序可调换。

139. 单词拆分（注意遍历顺序）

分析：
商品：worddict中的所有字符串 可重复用——完全背包
背包：字符串s
目标：用商品组合成字符串
dp[j]: 以前i个字符串能否拼接出字符串s的前j个（s[0:j+1]) 注：字符串i始终是末尾字符

递推公式：（TRUE OR FALSE）或的关系

dp[j] = dp[j] or (s[j-len(i):j]==i  and dp[j-len(i)])

    dp[j]：不选字符串i 能否构成strs[j-len(i):j]==i  and dp[j-len(i)]：选字符串i，**前提是s末尾要同字符串i一致**

class Solution:def wordBreak(self, s: str, wordDict: List[str]) -> bool:# 初始化dp = [False]*(len(s)+1)dp[0] =  True# 递推for j in range(len(s)+1):for i in wordDict:if j>=len(i):dp[j] = dp[j] or (s[j-len(i):j]==i  and dp[j-len(i)])print(dp)return dp[-1]

遍历顺序：
以
“applepenapple”
[“apple”,“pen”]
为例

选择字符串进行组合 2个apple和1个pen有3种
“pen”“apple”“apple”，“apple”“pen”“apple”，“apple”“apple”“pen”
很显然，只有一种最后返回的是True，即强调物品的顺序，所以是排列，而不是组合，要先背包后遍历物品

参考：听说背包问题很难？ 这篇总结篇来拯救你了