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一、双因素方差分析的种类
在现实中，常常会遇到两个因素同时影响结果的情况。这就需要检验究竟一个因素起作 用，还是两个因素都起作用，或者两个因素的影响都不显著。
双因素方差分析有两种类型：一种是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素 A 和 因素 B 的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一种是有交互作用的方差分析，它 假定 A、B 两个因素不是独立的，而是相互起作用的，两个因素同时起作用的结果不是两个 因素分别作用的简单相加，两者的结合会产生一个新的效应。这种效应的最典型的例子是， 耕地深度和施肥量都会影响产量，但同时深耕和适当的施肥可能使产量成倍增加，这时，耕 地深度和施肥量就存在交互作用。两个因素结合后就会产生出一个新的效应，属于有交互作 用的方差分析问题。
二、无交互作用的双因素方差分析
（一）数据结构
设两个因素分别是 A 和 B。因素 A 共有 r 个水平，因素 B 共有 s 个水平，无交互作用的双因素方差分析的数据结构如表 7.7 所示。
（二）分析步骤
1. 模型与假设
在水平
与单因素方差分析模型相类似， 令
称为一般水平或平均水平，
称为因素
。若
其中随机误差
我们检验因素 A 是否起作用实际上就是检验各个
2. 构造检验统计量
（1）水平的均值
（2）总均值
（3）离差平方和的分解
双因素方差分析同样要对总离差平方和 SST 进行分解，SST 分解为三部分：SSA、SSB 和 SSE，以分别反映因素 A 的组间差异、因素 B 的组间差异和随机误差（即组内差异）的 离散状况。
它们的计算公式分别为：
（4）构造检验统计量
由离差平方和与自由度可以计算出均方和，从而计算出 F 检验值，如表 7.8
为检验因素 A 的影响是否显著，采用下面的统计量：
为检验因素 B 的影响是否显著，采用下面的统计量：
3. 判断与结论
根据给定的显著性水平α在 F 分布表中查找相应的临界值
若
若
若
若
（三）实例
【例 7.3】某公司想知道产品销售量与销售方式及销售地点是否有关，随机抽样得表 7.9 资料，以 0.05 的显著性水平进行检验。
【解】我们可以按上述的步骤，完成检验，但计算工作量很大。这里我们利用 Excel 的 分析工具。
首先针对问题，提出原假设和备择假设：
Excel 解决方案
① 将数据输入工作表中
② 选择菜单“工具”—“数据分析”，打开“数据分析”对话框。
③ 选择其中的“方差分析：无重复双因素方差分析”，打开对话框，见图 7.8
④ 正确填写相关信息后，点“确定”，结果在 I1 到 O22 这个区域内显示，见图 7.9
结论： ∵
∵
三、有交互作用的双因素方差分析
（一）数据结构
设两个因素分别是 A 和 B，因素 A 共有 r 个水平，因素 B 共有 s 个水平，在水平组合
（二）分析步骤
1. 模型与假设
与无交互作用双因素方差分析模型一样，令
称为一般水平或平均水平，
称为因素
若
把原参数
这里
与前面的分析思路相同，我们检验因素 A、因素 B 以及两者的交互效应是否起作用实际上就是检验各个
对因素 A 和 B 的交互效应：
2. 构造检验统计量
（1）水平的均值
（2）总均值
（3）离差平方和的分解
与无交互作用的双因素方差分析不同，总离差平方和 SST 将被分解为四个部分：SSA、 SSB、SSAB 和 SSE，以分别反映因素 A 的组间差异、因素 B 的组间差异、因素 AB 的交互 效应和随机误差的离散状况。
它们的计算公式分别为：
（4）构造检验统计量
由离差平方和与自由度可以计算出均方和，从而计算出 F 检验值，如表 7.11。
为检验因素 A 的影响是否显著，采用下面的统计量：
为检验因素 B 的影响是否显著，采用下面的统计量：
为检验因素 A、B 交互效应的影响是否显著，采用下面的统计量：
3. 判断与结论
根据给定的显著性水平α在 F 分布表中查找相应的临界值
若
若
若
（三）实例
【例 7.4】电池的板极材料与使用的环境温度对电池的输出电压均有影响。今材料类型
与环境温度都取了三个水平，测得输出电压数据如表 7.12，问不同材料、不同温度及它们的
交互作用对输出电压有无显著影响（α=0.05）。
【解】我们利用 Excel 的分析工具。
首先针对问题，提出原假设和备择假设：
Excel 解决方案
① 将数据输入工作表中
② 选择菜单“工具”—“数据分析”，打开“数据分析”对话框
③ 选择其中的“方差分析：无重复双因素方差分析”，打开对话框，见图 7.10
④ 正确填写相关信息后，点“确定”，结果在 F1 到 L36 这个区域内显示，见图 7.11
结论：
