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题目

509. 斐波那契数

简单

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递归   记忆化搜索   数学   动态规划

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示：

• 0 <= n <= 30

思路和解题方法

在这段代码中，函数fib接受一个整数N作为参数，返回斐波那契数列中第N个数的值。如果N小于等于1，则直接返回N。

if (N <= 1) return N;

接下来，我们使用动态规划的思想来求解斐波那契数列。我们定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示斐波那契数列中第i个数的值。我们先将数组的前两个元素初始化为0和1。

vector<int> dp(N + 1); dp[0] = 0; dp[1] = 1;

接下来，我们使用循环遍历数组中的每个元素，计算出当前位置的值。根据斐波那契数列的定义，第i个数的值应该等于前两个数的和，即dp[i-1] + dp[i-2]。最后，返回数组中第N个数的值。

for (int i = 2; i <= N; i++) 
{ dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; 
} 
return dp[N];

复杂度

        时间复杂度:

                O(N)

        时间复杂度是O(N)，其中N是斐波那契数列中第N个数的值。在循环中，我们需要遍历数组中的每个元素一次，并且每次计算都需要使用前两个数的和，所以时间复杂度与N成正比。

        空间复杂度

                O(N)

        空间复杂度也是O(N)，因为我们需要使用一个数组来保存斐波那契数列中每个数的值。数组的长度为N+1，所以空间复杂度与N成正比。

c++ 代码

class Solution {
public:int fib(int N) {// 如果N小于等于1，则直接返回Nif (N <= 1) return N;// 创建一个大小为N+1的数组，用于保存斐波那契数列中每个数的值vector<int> dp(N + 1);// 初始化数组的前两个元素为0和1dp[0] = 0;dp[1] = 1;// 使用动态规划的思想计算斐波那契数列for (int i = 2; i <= N; i++) {// 当前位置的值等于前两个数的和dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}// 返回斐波那契数列中第N个数的值return dp[N];}
};

常数空间代码

只是对于dp来维护两个数

class Solution {
public:int fib(int n) {// 如果n小于等于1，直接返回nif (n <= 1) return n;// 初始化斐波那契数列的前两个数int n1 = 0, n2 = 1;// 用于保存当前位置的值int ans = 0;// 从第3个位置开始遍历到第n个位置for (int i = 2; i <= n; i++) {// 计算当前位置的值，即前两个数的和ans = n1 + n2;// 更新前两个数的值n1 = n2;n2 = ans;}// 返回斐波那契数列中第n个数的值return ans;}
};

附上递归解法

class Solution {
public:int fib(int N) {if (N < 2) return N;return fib(N - 1) + fib(N - 2);}
};

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