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news 2025/8/24 10:31:26

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一、树形结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点；
除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m)又是一棵与树类似的子树。
每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继；
树是递归定义的。

二、二叉树

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

2.2 二叉树的特点：

每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

2.3 特殊的二叉树

(1)满二叉树：

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。

(2)完全二叉树：

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

PS:完全二叉树的底部是连续的，满二叉树一定是完全二叉树

2.4 二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2i-1 (i>0)个结点；
若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2k-1 (k>=0)；对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1；
具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2(n+1) 上取整；
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点；
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子；
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子；

如：假设一棵完全二叉树中总共有1000个节点，则该二叉树中__500___个叶子节点，__500___个非叶子节点，__1___个节点只有左孩子，__0___个只有右孩子。
题解：将该二叉树节点缩小100倍，变为该完全二叉树中总共有10个节点，由性质2可得深度K为：4，前三层共有7个节点，则最后一层有10-7=3个节点，由性质1的第三层有4个节点，其中有2个节点上面有子节点，剩余2个为叶子结点，则该二叉树共有3+2=5个叶子结点，扩大100倍为500个叶子结点，则剩余的就位非叶子结点。有相关分析可知该二叉树有1个节点只有左孩子，0个节点只有右孩子。

2.5 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}

2.6 二叉树的遍历

遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。

遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。

如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

前序遍历：先输出父节点，再遍历左子树和右子树
中序遍历：先遍历左子树，再输出父节点，再遍历右子树
后序遍历：先遍历左子树，再遍历右子树，最后输出父节点

public class BinaryTree {class TreeNode{public char val;public TreeNode left;public TreeNode right;public TreeNode(char val){this.val = val;}}//创建一个二叉树public TreeNode createTree() {TreeNode A = new TreeNode('a');TreeNode B = new TreeNode('b');TreeNode C = new TreeNode('c');TreeNode D = new TreeNode('d');TreeNode E = new TreeNode('e');TreeNode F = new TreeNode('f');TreeNode G = new TreeNode('g');TreeNode H = new TreeNode('h');A.left = B;A.right = C;B.left = D;B.right = E;E.right = H;C.left = F;C.right = G;return A;}//前序遍历void preOrderTraversal(TreeNode root){if(root == null){return;}System.out.print(root.val + " ");preOrderTraversal(root.left);preOrderTraversal(root.right);}// 中序遍历void inOrderTraversal(TreeNode root){if(root == null){return;}inOrderTraversal(root.left);System.out.print(root.val + " ");inOrderTraversal(root.right);}// 后序遍历void postOrderTraversal(TreeNode root){if(root == null){return;}postOrderTraversal(root.left);postOrderTraversal(root.right);System.out.print(root.val + " ");}public static void main(String[] args) {BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();TreeNode root = binaryTree.createTree();System.out.println();binaryTree.preOrderTraversal(root);//前序遍历System.out.println();binaryTree.inOrderTraversal(root);// 中序遍历System.out.println();binaryTree.postOrderTraversal(root);// 后序遍历System.out.println();}
}