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余弦相似度（Cosine Similarity）是一种衡量两个非零向量之间角度的度量方式，用于评估它们之间的相似性。它的值范围从 -1 到 1，其中 1 表示完全相同的方向（即向量完全相同），0 表示正交（没有相似性），而 -1 表示完全相反的方向。

假设我们有两个向量 A 和 B，它们的余弦相似度可以通过以下公式计算：

$ \text{similarity} = \cos(\theta) = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A}| |\mathbf{B}|} $

其中：

• $ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} $ 是向量 A 和 B 的点积（内积）。
• $ |\mathbf{A}| $和$ |\mathbf{B}| $ 分别是向量 A 和 B 的模长（长度）。

具体来说：

• 点积（内积）：$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \sum_{i=1}^{n} A_i B_i $，其中 (n) 是向量的维度。
• 模长（长度）：$ |\mathbf{A}| = \sqrt{\sum_{i=1}{n} A_i^2} $。

公式可以进一步展开为：

$ \text{similarity} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} A_i B_i}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} A_i^2} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} B_i^2}} $

示例计算

假设我们有两个向量 A 和 B，其中：

• $ \mathbf{A} = [1, 2, 3] $
• $ \mathbf{B} = [4, 5, 6] $

我们可以按照上述公式计算它们之间的余弦相似度：

1. 点积：
   $ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 14 + 25 + 3*6 = 4 + 10 + 18 = 32 $
2. 模长：
   • $ |\mathbf{A}| = \sqrt{12 + 22 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} $
   • $ |\mathbf{B}| = \sqrt{42 + 52 + 6^2} = \sqrt{16 + 25 + 36} = \sqrt{77} $
3. 余弦相似度：
   $ \text{similarity} = \frac{32}{\sqrt{14} \sqrt{77}} = \frac{32}{\sqrt{1078}} $

我们可以使用 Python 来计算这个值：

import numpy as np# 定义两个向量
vector_a = np.array([1, 2, 3])
vector_b = np.array([4, 5, 6])# 计算点积
dot_product = np.dot(vector_a, vector_b)# 计算模长
norm_a = np.linalg.norm(vector_a)
norm_b = np.linalg.norm(vector_b)# 计算余弦相似度
cosine_similarity = dot_product / (norm_a * norm_b)print("Cosine similarity:", cosine_similarity)