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同态滤波基础

同态滤波是一种去除图像中乘性噪声的技术，常用于校正图像中的不均匀照明。根据图像形成的光照反射模型，图像 $f(x,y)$ 可以由以下两个分量表征：

• 入射到场景中的光源量
• 场景中对象反射的光量

根据光照反射模型模型，图像中像素的强度(即对象上的点反射的光)是场景照明和场景中对象反射的结果。傅立叶变换在加法下是线性关联的，但在乘法下并不关联。因此，傅立叶方法仅在将噪声作为原始图像的附加项建模时，才适合从图像中去除噪声。
但是，如果图像的缺陷(例如，不均匀的照明)必须建模为乘法而非加法，则直接应用傅立叶变换并不合适。此时，我们便需要使用同态滤波:首先，通过使用对数将乘法转换为加法；然后，使用对数域中的 HPF 来删除低频照明分量，同时保留高频反射率分量。
同态滤波的基本步骤如下，输入图像为 $f(x,y)$，滤波器的输出为 $g(x,y)$：

实现同态滤波

在本节中，我们将学习如何使用 Butterworth HPF 实现同态滤波器。

(1) 首先，导入所需 Python 库，并定义相关函数：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from skimage.color import rgb2gray
from skimage.filters import sobel, threshold_otsudef dft2(im):freq = cv2.dft(np.float32(im), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)freq_shift = np.fft.fftshift(freq)mag, phase = freq_shift[:,:,0], freq_shift[:,:,1]return mag + 1j*phasedef idft2(freq):real, imag = freq.real, freq.imagback = cv2.merge([real, imag])back_ishift = np.fft.ifftshift(back)im = cv2.idft(back_ishift, flags=cv2.DFT_SCALE)im = cv2.magnitude(im[:,:,0], im[:,:,1])return imdef butterworth(sz, D0, n=1):h, w = szu, v = np.meshgrid(range(-w//2,w//2), range(-h//2,h//2)) #, sparse=True)return 1 / (1 + (D0/(0.01+np.sqrt(u**2 + v**2)))**(2*n))

(2) 定义同态滤波函数，频域 $H(u,v)$ 中的同态滤波器如下所示：

$$H(u,v)=({\gamma }_H-{\gamma }_L)(\frac{1}{1+(\frac{D_0}{D(u,v)}{)}^{2n}})+{\gamma }_L$$

为了避免对数域中错误操作，在输入中添加常数 1，以确保对数的输入始终 ≥1，最后，从输出中减去 1：

def homomorphic_filter(im, D0, g_l=0, g_h=1, n=1):im_log = np.log(im.astype(np.float)+1)im_fft = dft2(im_log)H = (g_h - g_l) * butterworth(im.shape, D0, n) + g_l#H = np.fft.ifftshift(H)im_fft_filt = H*im_fft#im_fft_filt = np.fft.ifftshift(im_fft_filt)im_filt = idft2(im_fft_filt)im = np.exp(im_filt.real)-1im = np.uint8(255*im/im.max())return im

(3) 读取输入图像(带有不均匀照明)，将其转换为灰度图像(确保像素值在 0-255 范围内)，然后通过调函数 homomorphic_filter() 应用同态滤波器。

其中，Butterworth 滤波器 n＝2 阶的截止频率为 30，${\gamma }_L$ 和 ${\gamma }_H$ 参数分别设置为 0.3 和 1：

image = rgb2gray(plt.imread('1.png'))
image_filtered = homomorphic_filter(image, D0=30, n=2, g_l=0.3, g_h=1)

(4) 使用 sobel 滤波器从原始图像中提取边缘，使用 OTSU 最佳阈值创建二值图像如下：

image_edges = sobel(image)
image_edges = image_edges <= threshold_otsu(image_edges)

(5) 使用 sobel 滤波器通过从同态滤波器转换的图像中提取边缘：

image_filtered_edges = sobel(image_filtered)
image_filtered_edges = image_filtered_edges <= threshold_otsu(image_filtered_edges)

(6) 最后，绘制输入图像和使用同态滤波器获得的输出图像，以及提取的边缘：

plt.figure(figsize=(21,17))
plt.gray()
plt.subplots_adjust(0,0,1,0.95,0.01,0.05)
plt.subplot(221), plt.imshow(image), plt.axis('off'), plt.title('original image', size=10)
plt.subplot(222), plt.imshow(image_filtered), plt.axis('off'), plt.title('filtered image', size=10)
plt.subplot(223), plt.imshow(image_edges), plt.axis('off'), plt.title('original image edges', size=10)
plt.subplot(224), plt.imshow(image_filtered_edges), plt.axis('off'), plt.title('filtered image edges', size=10)
plt.show()

输出结果如下所示：

从上图中可以看出，所获得的输出图像中的光照更加均匀，从而可以看清楚原始图像中黑暗区域的细节/边缘。

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