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红黑树

概念

和AVL树一样，红黑树也是一种二叉搜索树，是解决二叉搜索树不平衡的另一种方案，他在每个节点上增加一个存储位，用于表示节点的颜色，是Red或者Black

红黑树的核心思想是通过一些着色的条件限制，达到一种最长路径不超过最短路径的两倍的状态

所以说红黑树并不是严格平衡的树，而是一种近似平衡

例如

性质（条件限制）

红黑树一共有五条性质，由此来保证最长路径不超过最短路径的两倍

1. 每个节点都有颜色，不是黑色就是红色
2. 根节点是黑色的
3. 如果一共节点是红色，那么他的子节点一定是黑色（不会出现两个红色节点连接的情况）
4. 对于每个节点，以这个节点到所有后代的任意路径上，均包含相同数目的黑色节点
5. 每个叶子节点（空节点）是黑色的（为了满足第四条性质，某些情况下如果没有第五条第四条会失效）

节点的定义

// 颜色
enum Color {RED,BLACK
};template<class T>
struct RBTreeNode {RBTreeNode<T>* _left;RBTreeNode<T>* _right;RBTreeNode<T>* _parent;T _data;Color _col;RBTreeNode(const T& data) :_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_data(data),_col(RED){}
};

我们定义颜色时，使用枚举类型，可以方便且明了的看到颜色

除此之外我们默认插入节点是红色的，因为一旦插入节点是黑色，就会违反第四条规则，如果要满足的话，就要走到每一条路径上插入对应的黑色节点，代价巨大

当插入节点是红色时，有可能会违反第三条规则，但是我们可以通过变色，旋转等操作在局部进行改变，这样就能使之仍然满足条件

红黑树的结构

为了后续利用红黑树封装map和set，我们对红黑树增加一个头节点，为了和根节点进行区分，我们将头节点赋为黑色，并且让头节点的parent指向根节点，left指向红黑树的最小节点，right指向最大节点，如图

红黑树的插入

红黑树插入时也是按照二叉搜索树的规则进行插入，并在此基础上加上平衡条件，因此插入也就分为两步

1. 按照二叉搜索树的规则插入新节点
2. 插入节点后检测规则是否被破坏

因为插入红节点时只有可能破坏第三条规则，因此我们只需要判断父节点是否为红色即可

然后我们分情况讨论

为了方便叙述，我们约定cur为插入节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

画出来是这样的

这时我们需要将g改为红色，p和u改为黑色即可，这样既能保证红色不连续，黑色数量一致，如图

但是如果g是是子树，那么g一定有父节点，当g的父节点也是红色时，也就同样需要向上调整了

cur为红，p为红，g为黑，u不存在或u为黑，插入到p对应的一边

画出来是这样的

u的情况有两种

1. u节点不存在，说明cur一定是新插入的节点，因为要保证左右两个路径的黑色节点的数量相同
2. u节点存在，说明cur节点是由下至上调整的红色，原因也是左右路径的黑色节点要相同

对于这两种情况的调整方法是相同的，如果p是g的左节点，cur为p的左节点，则右单旋，如果p是g的右节点，cur为p的右节点，则左单旋

同时p要变成黑色，g要变成红色

变成如下状态

那么因为最上面的根节点颜色没有变化，也就不需要继续向上调整了

cur为红，p为红，g为黑，u不存在或u存在且为黑，插入到与p相反的一边

如图

这种情况需要针对p进行单旋，如果p为g的左节点，cur为p的右节点，则对p左单旋，反之则为右单旋，此时就会变成第二种情况，再继续处理即可

第一次处理的结果如下

示例代码

template<class K, class T, class KeyOfT>
class RBTree {typedef RBTreeNode<T> Node;
public:pair<Node*, bool> Insert(const T& data) {// 插入根节点直接返回if (_root == nullptr) {_root = new Node(data);_root->_col = BLACK;return make_pair(_root, true);}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;KeyOfT kot;// 平衡二叉树找到插入位置while (cur) {if (kot(cur->_data) < kot(data)) {parent = cur;cur = cur->_right;} else if (kot(cur->_data) > kot(data)) {parent = cur;cur = cur->_left;} else {return make_pair(cur, false);}}// 新建节点cur = new Node(data);Node* newnode = cur;cur->_col = RED;// 连接父节点if (kot(parent->_data) < kot(data)) {parent->_right = cur;cur->_parent = parent;} else {parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}// 如果父节点存在且父节点为红色则需要调整while (parent && parent->_col == RED) {Node* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left) {//     g//   p   u// c // 判断u是否存在和他的颜色Node* uncle = grandfather->_right;// 如果存在且为红色if (uncle && uncle->_col == RED) {// 变色parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 向上调整cur = grandfather;parent = cur->_parent;} else {// 如果不存在或u为黑色，需要判断同侧还是异侧// 如果是同侧if (cur == parent->_left) {//     g//   p// cRotateR(grandfather); // 右旋// 调整颜色parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;} else {//    g//  p//    cRotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}} else { // p = g->rNode* uncle = grandfather->_left;//     g//   u   p//         c// 判断u是否存在和他的颜色// 如果存在且为红色if (uncle && uncle->_col == RED) {// 变色parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 向上调整cur = grandfather;parent = cur->_parent;} else {if (cur == parent->_right) {RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;} else {//     g//   u   p //     c//RotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK;return make_pair(newnode, true);}void RotateL(Node* parent) {Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;subR->_left = parent;Node* parentParent = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (subRL)subRL->_parent = parent;else {if (parentParent->_left == parent) {parentParent->_left = subR;} else {parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}}void RotateR(Node* parent) {Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* parentParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (_root == parent) {_root = subL;subL->_parent = nullptr;} else {if (parentParent->_left == parent) {parentParent->_left = subL;} else {parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}}
private:Node* _root = nullptr;
};

红黑树的验证

红黑树要验证需要验证两个部分

1. 检测是否中序遍历是有序序列
2. 检测是否满足红黑树的性质

这里我们就不讲红黑树的删除了，完成红黑树的验证之后就算作已经完成了任务，接下来会使用红黑树模拟实现map和set

红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，但是红黑树不追求绝对的平衡，降低了插入和旋转的次数，因此性能比AVL更优，而且红黑树比AVL树的实现更加简单，所以实际中运用红黑树更多

完整代码

#pragma once
#include<utility>
#include<iostream>
using namespace std;
// 颜色
enum Color {RED,BLACK
};template<class T>
struct RBTreeNode {RBTreeNode<T>* _left;RBTreeNode<T>* _right;RBTreeNode<T>* _parent;T _data;Color _col;RBTreeNode(const T& data):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _data(data), _col(RED) {}
};template<class K, class T, class KeyOfT>
class RBTree {typedef RBTreeNode<T> Node;
public:pair<Node*, bool> Insert(const T& data) {if (_root == nullptr) {_root = new Node(data);_root->_col = BLACK;return make_pair(_root, true);}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;KeyOfT kot;// 平衡二叉树找到插入位置while (cur) {if (kot(cur->_data) < kot(data)) {parent = cur;cur = cur->_right;} else if (kot(cur->_data) > kot(data)) {parent = cur;cur = cur->_left;} else {return make_pair(cur, false);}}// 新建节点cur = new Node(data);Node* newnode = cur;cur->_col = RED;// 连接父节点if (kot(parent->_data) < kot(data)) {parent->_right = cur;cur->_parent = parent;} else {parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}// 如果父节点存在且父节点为红色则需要调整while (parent && parent->_col == RED) {Node* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left) {//     g//   p   u// c // 判断u是否存在和他的颜色Node* uncle = grandfather->_right;// 如果存在且为红色if (uncle && uncle->_col == RED) {// 变色parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 向上调整cur = grandfather;parent = cur->_parent;} else {// 如果不存在或u为黑色，需要判断同侧还是异侧// 如果是同侧if (cur == parent->_left) {//     g//   p// cRotateR(grandfather); // 右旋// 调整颜色parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;} else {//    g//  p//    cRotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}} else { // p = g->rNode* uncle = grandfather->_left;//     g//   u   p//         c// 判断u是否存在和他的颜色// 如果存在且为红色if (uncle && uncle->_col == RED) {// 变色parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 向上调整cur = grandfather;parent = cur->_parent;} else {if (cur == parent->_right) {RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;} else {//     g//   u   p //     c//RotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK;return make_pair(newnode, true);}void RotateL(Node* parent) {Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;subR->_left = parent;Node* parentParent = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (subRL)subRL->_parent = parent;else {if (parentParent->_left == parent) {parentParent->_left = subR;} else {parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}}void RotateR(Node* parent) {Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* parentParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (_root == parent) {_root = subL;subL->_parent = nullptr;} else {if (parentParent->_left == parent) {parentParent->_left = subL;} else {parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}}void InOrder() {_InOrder(_root);cout << endl;}void _InOrder(Node* root) {if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_data << ' ';_InOrder(root->_right);}bool Check(Node* root, int blacknum, const int refVal) {if (root == nullptr) {if (blacknum != refVal) {cout << "存在黑色节点数量不相等的路径" << endl;return false;}return true;}if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED) {cout << "存在连续的红节点" << endl;return false;}if (root->_col == BLACK) {++blacknum;}return Check(root->_left, blacknum, refVal) && Check(root->_right, blacknum, refVal);}bool IsBalance() {if (_root == nullptr)return true;if (_root->_col == RED)return false;int refVal = 0; // 参考值Node* cur = _root;while (cur) {if (cur->_col == BLACK) {++refVal;}cur = cur->_left;}int blacknum = 0;return Check(_root, blacknum, refVal);}int Height() {return _Height(_root);}int _Height(Node* root) {if (root == nullptr)return 0;int leftH = _Height(root->_left);int rightH = _Height(root->_right);return leftH + rightH;}size_t Size() {return _Size(_root);}size_t _Size(Node* root) {if (root == nullptr)return 0;return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;}Node* Find(const K& key) {Node* cur = _root;while (cur) {if (cur->_data < key) {cur = cur->_right;}else if (cur->_data > key) {cur = cur->_left;}else {return cur;}}return nullptr;}private:Node* _root = nullptr;
};