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15. 三数之和

输入：nums = [-1,0,1,2,-1,-4]
输出：[[-1,-1,2],[-1,0,1]]
解释：
nums[0] + nums[1] + nums[2] = (-1) + 0 + 1 = 0 。
nums[1] + nums[2] + nums[4] = 0 + 1 + (-1) = 0 。
nums[0] + nums[3] + nums[4] = (-1) + 2 + (-1) = 0 。
不同的三元组是 [-1,0,1] 和 [-1,-1,2] 。
注意，输出的顺序和三元组的顺序并不重要。

输入：nums = [0,1,1]
输出：[]
解释：唯一可能的三元组和不为 0 。

输入：nums = [0,0,0]
输出：[[0,0,0]]
解释：唯一可能的三元组和为 0 。

题解

这个问题是典型的 “三数之和” 问题，在算法设计和分析中，它可以通过多种方法解决。给定一个整数数组 nums，目标是找出所有不重复的三元组 [nums[i], nums[j], nums[k]]，使得它们的和为 0。下面是解决这个问题的一种方法：

1. 排序: 首先对数组进行排序。排序是很重要的一步，因为它使得在后续步骤中能够应用双指针技术来减少时间复杂度。
2. 使用双指针: 对于数组中的每一个元素 nums[i]，设置两个指针，一个指向 i 之后的第一个元素，另一个指向数组的最后一个元素。检查三个元素的和与 0 的关系，根据情况移动指针。
3. 去重: 在遍历的过程中，需要跳过那些重复的元素，以避免出现重复的三元组。

具体算法步骤如下：

1. 对数组 nums 进行排序。

2. 遍历排序后的数组，对于每一个元素 nums[i]：

   • 如果 nums[i] 大于 0，则后面不可能有三个数加和等于 0，结束循环。
   • 如果 nums[i] 与前一个元素相同，则跳过这个元素，避免重复。
   • 设置两个指针 left = i + 1 和 right = nums.length - 1。
   • 当 left < right 时，执行以下操作：
     • 如果 nums[i] + nums[left] + nums[right] == 0，找到了一个解。记录这个三元组，然后跳过所有重复的 nums[left] 和 nums[right]。
     • 如果和小于 0，移动左指针 left。
     • 如果和大于 0，移动右指针 right。

3. 返回所有找到的三元组。

下面是这个算法的 C++ 实现：

#include <vector>
#include <algorithm>std::vector<std::vector<int>> threeSum(std::vector<int>& nums) {std::sort(nums.begin(), nums.end());std::vector<std::vector<int>> result;for (int i = 0; i < nums.size() && nums[i] <= 0; ++i) {if (i == 0 || nums[i] != nums[i - 1]) {int left = i + 1, right = nums.size() - 1;while (left < right) {int sum = nums[i] + nums[left] + nums[right];if (sum == 0) {result.push_back({nums[i], nums[left], nums[right]});while (left < right && nums[left] == nums[left + 1]) ++left;while (left < right && nums[right] == nums[right - 1]) --right;++left; --right;} else if (sum < 0) {++left;} else {--right;}}}}return result;
}

这个算法的时间复杂度是 O(n^2)，其中 n 是数组 nums 的长度。这是因为外层循环遍历了数组一次，而内层的双指针遍历也是线性的。由于使用了排序，整个算法的时间复杂度还包括排序的时间复杂度 O(n log n)。因此，总的时间复杂度是 O(n log n + n^2)，在大多数情况下，这主要由 O(n^2) 决定。