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文章目录
- 相似矩阵
- 引言
- 相似矩阵定义
- 相似变换
- 相似变换矩阵
- 相似矩阵的矩阵多项式和特征值相同
- 推论:与对角阵相似的矩阵性质定理
- 相似矩阵性质
- 相似矩阵的乘方性质
- 相似矩阵和矩阵多项式
- 相似对角阵
- 对角阵多项式的展开
- 小结
相似矩阵
引言
- 对角阵是矩阵中最简单的一类矩阵
- 对角阵相关的乘法运算是很高效的
- 相似方阵是和对角阵相关的概念
相似矩阵定义
- 设 A , B \bold{{A},\bold{B}} A,B是 n n n阶方阵,如果存在 n n n阶可逆方阵 P \bold{P} P,使得 P − 1 A P = B \bold{P^{-1}{AP}={B}} P−1AP=B,则称方阵 A , B \bold{A},\bold{B} A,B相似,记为 A ∼ B \bold{A}\sim{\bold{B}} A∼B
相似变换
- 对 A \bold{A} A进行运算 P − 1 A P \bold{P^{-1}AP} P−1AP称为对 A \bold{A} A进行相似变换
相似变换矩阵
- 矩阵 P \bold{P} P称为相似变换 P − 1 A P \bold{P^{-1}AP} P−1AP的相似变换矩阵
相似矩阵的矩阵多项式和特征值相同
-
若 n n n阶矩阵 A , B \bold{A,B} A,B相似,则 A , B \bold{A,B} A,B的特征多项式相同,从而 A , B \bold{A,B} A,B的特征值相同
-
证明:
- 由 A ∼ B \bold{A\sim{B}} A∼B,有 P \bold{P} P满足 P − 1 A P = B \bold{P^{-1}AP=B} P−1AP=B
- 所以 f B ( λ ) f_{\bold{B}}(\lambda) fB(λ)= ∣ B − λ E ∣ \bold{|B-\lambda{E}|} ∣B−λE∣= ∣ P − 1 A P − λ E ∣ |\bold{P^{-1}AP-\lambda{E}}| ∣P−1AP−λE∣
- 由于 P λ E P − 1 \bold{P\lambda{E}P^{-1}} PλEP−1= λ P E P − 1 \lambda\bold{PEP^{-1}} λPEP−1= λ P P − 1 \lambda\bold{PP^{-1}} λPP−1= λ E \lambda\bold{E} λE,因此,可以将 λ E \bold{\lambda{E}} λE变形为 P ( λ E ) P − 1 \bold{P(\lambda{E})P^{-1}} P(λE)P−1或 P − 1 ( λ E ) P \bold{P^{-1}(\lambda{E})P} P−1(λE)P
- f B ( λ ) = ∣ P − 1 A P − P − 1 ( λ E ) P ∣ f_{\bold{B}}(\lambda)=|\bold{P^{-1}AP-\bold{P^{-1}(\lambda{E})P}}| fB(λ)=∣P−1AP−P−1(λE)P∣= ∣ P − 1 ( A − λ E ) P ∣ |\bold{P^{-1}(A-\lambda{E})P}| ∣P−1(A−λE)P∣= ∣ P − 1 ∣ ∣ A − λ E ∣ ∣ P ∣ \bold{|P^{-1}||A-\lambda{E}||P|} ∣P−1∣∣A−λE∣∣P∣= ∣ P ∣ − 1 ∣ A − λ E ∣ ∣ P ∣ \bold{|P|^{-1}|A-\lambda{E}||P|} ∣P∣−1∣A−λE∣∣P∣= ∣ A − λ E ∣ \bold{|A-\lambda{E}|} ∣A−λE∣
- 显然 f A ( λ ) = f B ( λ ) f_{\bold{A}}(\lambda)=f_{\bold{B}}(\lambda) fA(λ)=fB(λ)
-
但是,特征值相同的方阵未必相似
推论:与对角阵相似的矩阵性质定理
-
与对角阵相似的矩阵的特征值就是对角阵对角元素
-
若 n n n阶矩阵 A ∼ Λ ( λ 1 , ⋯ , λ n ) \bold{A}\sim{\Lambda(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)} A∼Λ(λ1,⋯,λn),则 λ 1 , ⋯ , λ n \lambda_1,\cdots,\lambda_n λ1,⋯,λn是 A A A的 n n n个特征值
-
证明:对角阵的特征值是对角元素,由本节定理可知, A \bold{A} A的特征值与 Λ \Lambda Λ相同,所以推论成立
相似矩阵性质
-
A ∼ A \bold{A}\sim{\bold{A}} A∼A
-
A ∼ B ⇒ B ∼ A \bold{A}\sim{\bold{B}}\Rightarrow{\bold{B}\sim{\bold{A}}} A∼B⇒B∼A
- P − 1 A P = B , A = P B P − 1 \bold{P}^{-1}\bold{A}\bold P=\bold{B},\bold{A}=\bold P\bold{B}\bold P^{-1} P−1AP=B,A=PBP−1
-
A ∼ B , B ∼ C ⇒ A ∼ C \bold{A}\sim{\bold{B}},\bold{B}\sim{\bold C}\Rightarrow{\bold{A}\sim{\bold C}} A∼B,B∼C⇒A∼C
- P − 1 A P = B , Q − 1 B Q = C \bold{P^{-1}{A}P=\bold{B},Q^{-1}\bold{B}Q=C} P−1AP=B,Q−1BQ=C
- Q C Q − 1 = B = P − 1 A P \bold{QCQ^{-1}=\bold{B}=P^{-1}\bold{A}P} QCQ−1=B=P−1AP
- P Q C Q − 1 P − 1 = A \bold{PQCQ^{-1}P^{-1}=\bold{A}} PQCQ−1P−1=A
- ( P Q ) − 1 = Q − 1 P − 1 \bold{(PQ)^{-1}=Q^{-1}P^{-1}} (PQ)−1=Q−1P−1
- 因此 C ∼ A \bold{C\sim{{A}}} C∼A
-
单位矩阵只和自身相似
- 设方阵 A \bold{A} A和单位阵 E \bold{E} E相似
- P − 1 A P = E \bold{P^{-1}{A}P=E} P−1AP=E
- A = P E P − 1 = E \bold{A=PEP^{-1}=E} A=PEP−1=E
- 因此和单位阵 E \bold{E} E相似的矩阵是 E \bold{E} E本身
-
∣ A ∣ = ∣ B ∣ |\bold{A}|=|\bold{B}| ∣A∣=∣B∣
- ∣ B ∣ = ∣ P − 1 B P ∣ = ∣ P − 1 ∣ ∣ B ∣ ∣ P ∣ = ∣ P ∣ − 1 ∣ P ∣ ∣ B ∣ = B |\bold{B}|=|P^{-1}\bold{B}P|=|P^{-1}||\bold{B}||P|=|P|^{-1}|P||\bold{B}|=\bold{B} ∣B∣=∣P−1BP∣=∣P−1∣∣B∣∣P∣=∣P∣−1∣P∣∣B∣=B
-
t r ( A ) = t r ( B ) tr(\bold{A})=tr(\bold{B}) tr(A)=tr(B)
- A , B \bold{A},\bold{B} A,B具有相同的特征值
- t r ( A ) = ∑ i = 1 n a i i = ∑ i = 1 n λ i tr(\bold{A})=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}=\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i} tr(A)=i=1∑naii=i=1∑nλi
- t r ( B ) = ∑ i = 1 n b i i = ∑ i = 1 n λ i tr(\bold{B})=\sum\limits_{i=1}^{n}b_{ii}=\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i} tr(B)=i=1∑nbii=i=1∑nλi
- ∴ t r ( A ) = t r ( B ) \therefore tr(\bold{A})=tr(\bold{B}) ∴tr(A)=tr(B)
-
r ( A ) = r ( B ) r(\bold{A})=r(\bold{B}) r(A)=r(B)
- A = P − 1 B P \bold{A}=P^{-1}\bold{B}P^{} A=P−1BP
- P , P − 1 P,P^{-1} P,P−1都是可逆矩阵,它们都可以表示为一系列的初等矩阵的乘积
- 因此, A \bold{A} A相当于有 B \bold{B} B经过初等变换得到的等价矩阵,它们的秩相等(初等变换不改变秩)
- A = P − 1 B P \bold{A}=P^{-1}\bold{B}P^{} A=P−1BP
-
A T ∼ B T \bold{A}^T\sim{\bold{B}^T} AT∼BT
- P − 1 A P = B \bold{P^{-1}{A}P={B}} P−1AP=B
- Q − 1 B Q = A \bold{Q^{-1}{B}Q={A}} Q−1BQ=A
- ( P − 1 A P ) T = B T \bold{(P^{-1}{A}P)^T={B}^T} (P−1AP)T=BT
- P T A T ( P − 1 ) T = B T P^T\bold{A}^T(P^{-1})^T=\bold{B}^T PTAT(P−1)T=BT
- P T A T ( P T ) − 1 = B T P^T\bold{A}^T(P^{T})^{-1}=\bold{B}^T PTAT(PT)−1=BT
- 可见 A T ∼ B T \bold{A}^T\sim{\bold{B}^T} AT∼BT
-
A m ∼ B m \bold{A}^m\sim{\bold{B}^m} Am∼Bm
- B m = ( P − 1 A P ) m = ( P − 1 A P ) ( P − 1 A P ) ⋯ ( P − 1 A P ) \bold{B}^m=(P^{-1}\bold{A}P)^m=(P^{-1}\bold{A}P)(P^{-1}\bold{A}P)\cdots{(P^{-1}\bold{A}P)} Bm=(P−1AP)m=(P−1AP)(P−1AP)⋯(P−1AP)
- = P − 1 A ( P P − 1 ) A ( P ⋯ P − 1 ) A P =P^{-1}\bold{A}(PP^{-1})\bold{A}(P\cdots{P^{-1})\bold{A}P} =P−1A(PP−1)A(P⋯P−1)AP
- = P − 1 A m P =P^{-1}\bold{A}^mP =P−1AmP
- P − 1 A m P = B m P^{-1}\bold{A}^mP=\bold{B}^m P−1AmP=Bm
- B m = ( P − 1 A P ) m = ( P − 1 A P ) ( P − 1 A P ) ⋯ ( P − 1 A P ) \bold{B}^m=(P^{-1}\bold{A}P)^m=(P^{-1}\bold{A}P)(P^{-1}\bold{A}P)\cdots{(P^{-1}\bold{A}P)} Bm=(P−1AP)m=(P−1AP)(P−1AP)⋯(P−1AP)
-
若 A − 1 \bold{A}^{-1} A−1存在,则 B − 1 \bold{B}^{-1} B−1存在, A − 1 ∼ B − 1 , A ∗ ∼ B ∗ \bold{A}^{-1}\sim{\bold{B}^{-1}},\bold{A}^*\sim{\bold{B}^*} A−1∼B−1,A∗∼B∗
-
B \bold{B} B可逆:
- 方法1:
- A ∼ B ⇒ ∣ A ∣ = ∣ B ∣ = k \bold{A}\sim{\bold{B}}\Rightarrow{|\bold{A}|=|\bold{B}|}=k A∼B⇒∣A∣=∣B∣=k
- A − 1 \bold{A}^{-1} A−1存在, ∣ A ∣ ≠ 0 |\bold{A}|\neq{0} ∣A∣=0,则 ∣ B ∣ = ∣ A ∣ ≠ 0 |\bold{B}|=|\bold{A}|\neq{0} ∣B∣=∣A∣=0
- 方法2:
- 由于\bold{A}可逆,则 P − 1 A P = B P^{-1}\bold{A}P=\bold{B} P−1AP=B表明, B \bold{B} B是可逆矩阵的乘积,所以\bold{B}也可逆
-
A − 1 = P B − 1 P − 1 \bold{A}^{-1}=P\bold{B}^{-1}P^{-1} A−1=PB−1P−1,因此 B − 1 ∼ A − 1 \bold{B}^{-1}\sim{\bold{A}^{-1}} B−1∼A−1
- 设 P − 1 A − 1 P = B − 1 P^{-1}\bold{A}^{-1}P=\bold{B}^{-1} P−1A−1P=B−1
- A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ = k − 1 A ∗ \bold{A}^{-1}=\frac{1}{|\bold{A}|}\bold{A}^*=k^{-1}\bold{A}^* A−1=∣A∣1A∗=k−1A∗
- B − 1 = 1 ∣ B ∣ B ∗ = k − 1 B ∗ \bold{B}^{-1}=\frac{1}{|\bold{B}|}\bold{B}^{*}=k^{-1}\bold{B}^* B−1=∣B∣1B∗=k−1B∗
- P − 1 k − 1 A ∗ P = k − 1 B ∗ P^{-1}k^{-1}\bold{A}^*P=k^{-1}\bold{B}^* P−1k−1A∗P=k−1B∗
- P − 1 A ∗ P = B ∗ P^{-1}\bold{A}^*P=\bold{B}^* P−1A∗P=B∗
- 设 P − 1 A − 1 P = B − 1 P^{-1}\bold{A}^{-1}P=\bold{B}^{-1} P−1A−1P=B−1
-
相似矩阵的乘方性质
设 A , B \bold{A,B} A,B相似 A = P B k P − 1 \bold{A=PB}^k\bold{P}^{-1} A=PBkP−1<0>
- A k \bold{A}^k Ak= P B k P − 1 \bold{P}\bold{B}^k{\bold{P}^{-1}} PBkP−1
<1>- 推导: A k \bold{A}^k Ak= ( P B P − 1 ) ( P B P − 1 ) ⋯ ( P B P − 1 ) (\bold{P}\bold{B}{\bold{P}^{-1}})(\bold{P}\bold{B}{\bold{P}^{-1}})\cdots(\bold{P}\bold{B}{\bold{P}^{-1}}) (PBP−1)(PBP−1)⋯(PBP−1)
- = P B ( P − 1 P ) B ( P − 1 P ) B ⋯ B ( P − 1 P ) B P − 1 \bold{P}\bold{B}(\bold{P}^{-1}\bold{P})\bold{B}{(\bold{P}^{-1}\bold{P})}\bold{B}\cdots\bold{B}(\bold{P}^{-1}\bold{P})\bold{B}{\bold{P}^{-1}} PB(P−1P)B(P−1P)B⋯B(P−1P)BP−1
- = P B k P − 1 \bold{P}\bold{B}^k{\bold{P}^{-1}} PBkP−1
- 推导: A k \bold{A}^k Ak= ( P B P − 1 ) ( P B P − 1 ) ⋯ ( P B P − 1 ) (\bold{P}\bold{B}{\bold{P}^{-1}})(\bold{P}\bold{B}{\bold{P}^{-1}})\cdots(\bold{P}\bold{B}{\bold{P}^{-1}}) (PBP−1)(PBP−1)⋯(PBP−1)
相似矩阵和矩阵多项式
- 设矩阵多项式 f ( A ) = ∑ i = 0 m a i A i f(\bold{A})=\sum\limits_{i=0}^{m}a_i\bold{A}^i f(A)=i=0∑maiAi
<2>,将<1>代入<2>有: f ( A ) f(\bold{A}) f(A)= ∑ i = 0 m a i A i \sum\limits_{i=0}^{m}a_i\bold{A}^i i=0∑maiAi= ∑ i = 0 m a i ( P B i P − 1 ) ) \sum\limits_{i=0}^{m}a_i(\bold P\bold{B}^i{\bold P^{-1}})) i=0∑mai(PBiP−1))= ∑ i = 0 m P ( a i B i ) P − 1 \sum\limits_{i=0}^{m}\bold P(a_i\bold{B}^i){\bold P^{-1}} i=0∑mP(aiBi)P−1,根据矩阵乘法的分配律, f ( A ) f(\bold{A}) f(A)= P ( ∑ i = 0 m a i B i ) P − 1 \bold{P}(\sum_{i=0}^{m}a_i\bold{B}^{i})\bold{P}^{-1} P(∑i=0maiBi)P−1= P f ( B ) P − 1 \bold Pf(\bold{{B}})\bold P^{-1} Pf(B)P−1
相似对角阵
-
当 A \bold{A} A相似于某个对角阵 Λ \bold{\Lambda} Λ,则:
- A k \bold{A}^k Ak= P Λ k P − 1 \bold{P}\bold{\Lambda}^k{\bold{P}^{-1}} PΛkP−1
- f ( A ) f(\bold{A}) f(A)= P f ( Λ ) P − 1 \bold Pf(\bold{{\Lambda}})\bold P^{-1} Pf(Λ)P−1
-
由此可见,若矩阵 A \bold{A} A能够表示成 A = P Λ P − 1 \bold{A}=\bold P\Lambda{\bold P^{-1}} A=PΛP−1(相似对角化问题),矩阵 A \bold{A} A的多项式问题就能够被转换为对角阵的多项式
对角阵多项式的展开
-
f ( Λ ) = ∑ i = 0 m a i Λ i f(\bold\Lambda)=\sum_{i=0}^{m}a_{i}\bold\Lambda^{i} f(Λ)=∑i=0maiΛi= diag ( f ( λ 1 ) , f ( λ 2 ) , ⋯ , f ( λ n ) ) \text{diag}(f(\lambda_1),f(\lambda_2),\cdots,f(\lambda_n)) diag(f(λ1),f(λ2),⋯,f(λn)),
-
推导:
-
对角阵乘方运算性质:若 Λ = d i a g ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) \bold\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}) Λ=diag(λ1,λ2,⋯,λn)为对角阵,则 Λ k \bold\Lambda^k Λk= d i a g ( λ 1 k , λ 2 k , ⋯ , λ n k ) \mathrm{diag}(\lambda_1^k,\lambda_{2}^k,\cdots,\lambda_{n}^k) diag(λ1k,λ2k,⋯,λnk)
-
f ( Λ ) = a 0 ( 1 1 ⋱ 1 ) + a 1 ( λ 1 λ 2 ⋱ λ n ) + ⋯ + a n ( λ 1 n λ 2 n ⋱ λ n n ) = ( ∑ i = 0 m a i λ 1 i ∑ i = 0 m a i λ 2 i ⋱ ∑ i = 0 m a i λ n i ) = ( f ( λ 1 ) f ( λ 2 ) ⋱ f ( λ n ) ) \begin{aligned} f(\Lambda) =&\small{a_0\begin{pmatrix} {{1}} & {} & {} & {} \cr {} & {{ 1}} & {} & {} \cr {} & {} & \ddots & {} \cr {} & {} & {} & {{1}} \cr \end{pmatrix} +a_1\begin{pmatrix} {{\lambda _1}} & {} & {} & {} \cr {} & {{\lambda _2}} & {} & {} \cr {} & {} & \ddots & {} \cr {} & {} & {} & {{\lambda _n}} \cr \end{pmatrix} +\cdots +a_n\begin{pmatrix} {{\lambda _1^n}} & {} & {} & {} \cr {} & {{\lambda _2^n}} & {} & {} \cr {} & {} & \ddots & {} \cr {} & {} & {} & {{\lambda _n^n}} \cr \end{pmatrix}} \\ =&\begin{pmatrix} \sum_{i=0}^{m}a_{i}\lambda_1^{i} & {} & {} & {} \cr {} & \sum_{i=0}^{m}a_{i}\lambda_2^{i} & {} & {} \cr {} & {} & \ddots & {} \cr {} & {} & {} & \sum_{i=0}^{m}a_{i}\lambda_n^{i} \cr \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} {f({\lambda _1}}) & {} & {} & {} \cr {} & f({{\lambda _2}}) & {} & {} \cr {} & {} & \ddots & {} \cr {} & {} & {} & f({{\lambda _n}}) \cr \end{pmatrix} \end{aligned} f(Λ)==a0 11⋱1 +a1 λ1λ2⋱λn +⋯+an λ1nλ2n⋱λnn ∑i=0maiλ1i∑i=0maiλ2i⋱∑i=0maiλni = f(λ1)f(λ2)⋱f(λn)
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这个展开式告诉我们,对角阵(矩阵)的多项式可以归结为数(标量)的多项式的计算
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小结
- 上述结论说明,相似阵之间有很多共同点
- 特别是,当 A \bold{A} A有一个与之相似的对角阵时,许多关于 A \bold{A} A的计算就可以被简化,例如矩阵多项式的计算,这个问题归结为方阵相似对角化