当前位置：首页 > news >正文

网站导航条制作站长素材网站

news 2025/9/2 10:52:10

网站导航条制作,站长素材网站,北京展览设计制作工厂,wordpress 特别慢Mac傅里叶展开傅里叶变换傅里叶逆变换时域信号弧频域信号线性变换时域平移频域平移伸缩变换微分性质逆变换的微分性质卷积定理原函数变换结果单位阶跃函数： 符号函数： 矩形函数： 辛格函数：

傅里叶展开

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty a_kcoskx+b_ksinkx$

$\left\{\begin{matrix} a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\\ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdx\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnxdx \end{matrix}\right.$

傅里叶变换

$F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ikx}dx$

傅里叶逆变换

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}F(k)e^{ikx}dk$

时域信号

$g(t)\equiv \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}G(\omega)e^{i\omega t}d\omega$

弧频域信号

$G(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)e^{-i2\pi ft}dt$

线性变换

$a\cdot g(t)+b\cdot h(t)\rightarrow a\cdot G(f)+b\cdot H(f)$

时域平移

$g(t-a)\rightarrow e^{-i2\pi af}G(f)$

频域平移

$e^{iat}\rightarrow G(f-\frac{a}{2\pi})$

伸缩变换

$g(at)\rightarrow\frac{1}{|a|}G(\frac{f}{a})$

微分性质

$\frac{d^n}{dt^n}g(t)\rightarrow (i2\pi f)^nG(f)$

逆变换的微分性质

$t^ng(t)\rightarrow (\frac{i}{2\pi})^n\frac{d^n}{df^n}G(f)$

卷积定理

$(g*h)(t)\rightarrow G(f)H(f)$

原函数	变换结果
$e^{iat}$	$\delta(f-\frac{a}{2\pi})$
$e^{-at^2}$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}}\cdot e^{-\frac{(\pi f)^2}{a}}$
$cos(at)$	$\frac{\delta(f-\frac{a}{2\pi})+\delta(f+\frac{a}{2\pi})}{2}$
$cos(at^2)$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}}cos(\frac{\pi^2f^2}{a}-\frac{\pi}{4})$
$sin(at)$	$\frac{\delta(f-\frac{a}{2\pi})-\delta(f+\frac{a}{2\pi})}{2i}$
$sin(at^2)$	$-\sqrt{\frac{\pi}{a}}sin(\frac{\pi^2f^2}{a}-\frac{\pi}{4})$
$e^{-a\|t\|}(a>0)$	$\frac{2a}{a^2+4\pi^2f^2}$
$\frac{1}{\sqrt{\|t\|}}$	$\frac{1}{\sqrt{\|f\|}}$
$1$	$\delta(f)$
$\delta(t)$	$1$
$t^n$	$(\frac{i}{2\pi})^n\delta^{(n)}(f)$
$\frac{1}{t}$	$-i\pi\cdot sgn(f)$
$\frac{1}{t^n}$	$-i\pi\cdot \frac{(-i2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\cdot sgn(f)$
$sgn(t)$	$\frac{1}{i\pi f}$
$u(t)$	$\frac{1}{2}(\frac{1}{i\pi f}+\delta(f))$
$e^{-at}u(t)$	$\frac{1}{a+i2\pi f}$
$rect(at)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot sinc(\frac{f}{a})$
$sinc(at)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot rect(\frac{f}{a})$