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2D变换

等距变换

• 旋转平移
• 保留形状、面积
• 通常描述刚性物体运动

相似变换

• 在等距变换的基础增加缩放特点

射影变换

• 共线性、四共线点的交比保持不变

仿射变换

• 面积比值、平行关系等不变
• 仿射变换是特殊的射影变换

影消点与影消线

2D无穷远点

• 两直线的交点可由两直线的叉乘得到，表达为$(x_1,x_2,z)$。若$z=0$,则该点为无穷远点（欧式坐标表示为$(\frac{x_1}{z},\frac{x_2}{z})$）。
• 无穷远点经过射影变换后为有限远点。
• 无穷远点经过仿射变换后仍为无穷远点。

2D无穷远线

• 无穷远点集位于一条线上，该线成为无穷远线（可表示为$l_{inf}=[001]$）。
• 无穷远点经过射影变换后为有限远点。
• 无穷远点经过仿射变换后仍为无穷远点。

线的变换

已知$lx=0$,求解$l^{\prime }Hx=0$.
推导过程为：
$$\begin{array}{c}\begin{array}{r}已知方程：l^{T}x=0\\ 添加逆矩阵：l^T{H}^{-1}Hx=0\\ 拆组：(H^{-1}l{)}^T(Hx)=0\\ 可得：l^{\prime }=H^{-T}l=0\end{array}\end{array}$$
无穷远线表示为$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

• 无穷远线透视(射影)变换$$H=\left[\begin{array}{cc}A& t\\ v& b\end{array}\right]$$后不再为无穷远线。
• 无穷远线仿射变换$$H=\left[\begin{array}{cc}A& t\\ 0& b\end{array}\right]$$后为无穷远线。

空间中的点和面

• 面：$ax+by+cz+d=0$
• 点：$x_{\infty }=\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\\ 0\end{array}\right]$

影消点

• 三维空间的无穷远点在二维像素平面的投影点$p_{\infty }=\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]$。
• 影消点=摄像机内参数 * 直线方向。

影消线

• 影消点的集合。
• 识别影消线有助于重构三维场景。

与平面法向量的关系
平面法向量 = 摄像机内参数转置矩阵 * 影消线

无穷远平面

• 平行平面在无穷远处相较于一条公共线——无穷远线。
• 2条或多条无穷远直线的集合定义为无穷远平面。

单视图重构

步骤

• 标定摄像机内参数
• 恢复三维场景面的信息
• 重构
  缺点：手动选择影消点与影消线；需要场景先验；场景的实际比例无法恢复。