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一、定积分概念的起源（从实际问题引入）
1. 两个经典问题
问题一：曲边梯形的面积
如何计算由曲线y=f(x)（f(x)≥0）、x轴、直线x=a和x=b围成的曲边梯形面积？
问题二：变速直线运动的路程
已知物体运动速度v(t)随时间变化，如何计算在时间区间[a,b]内走过的总路程？
2. 解决思路的共同点
“化整为零 → 近似代替 → 求和取极限”
二、定积分的精确定义（重点！）
1. 分割区间
将区间[a,b]任意分成n个子区间：
a = x₀ < x₁ < x₂ < … < xₙ = b
记Δxᵢ = xᵢ - xᵢ₋₁（第i个小区间长度）
2. 取点求和
在每个小区间[xᵢ₋₁,xᵢ]上任取一点ξᵢ，作黎曼和：
[ S_n = \sum_{i=1}^n f(ξ_i)Δx_i ]
3. 极限定义
如果当最大子区间长度λ=max{Δxᵢ}→0时，黎曼和的极限存在且唯一，则称f(x)在[a,b]上可积，并定义：
[ \int_a^b f(x)dx = \lim_{λ→0} \sum_{i=1}^n f(ξ_i)Δx_i ]
4. 几何意义
- 当f(x)≥0时，表示曲边梯形面积
- 当f(x)有正有负时，表示面积的代数和（x轴上方为正，下方为负）
三、定积分存在的充分条件
1. 可积函数类
① 闭区间上的连续函数必可积
② 只有有限个间断点的有界函数可积
③ 单调有界函数必可积
2. 不可积的例子
狄利克雷函数：
D(x) = {1, x∈Q; 0, x∉Q} 在[0,1]上不可积
四、定积分的基本性质（假设以下积分均存在）
1. 线性性质
[ \int_a^b [αf(x)+βg(x)]dx = α\int_a^b f(x)dx + β\int_a^b g(x)dx ]
2. 区间可加性
[ \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx ] （a<c<b）
3. 比较性质
若f(x)≤g(x)在[a,b]上恒成立，则：
[ \int_a^b f(x)dx ≤ \int_a^b g(x)dx ]
4. 积分中值定理
存在ξ∈[a,b]，使得：
[ \int_a^b f(x)dx = f(ξ)(b-a) ]
5. 对称区间积分性质
若f(x)在[-a,a]上连续：
- 奇函数：∫₋ₐᵃ f(x)dx = 0
- 偶函数：∫₋ₐᵃ f(x)dx = 2∫₀ᵃ f(x)dx
五、定积分与不定积分的区别（重要对比）
| 特征 | 定积分 | 不定积分 |
|---|---|---|
| 结果形式 | 数值 | 函数族（含常数C） |
| 几何意义 | 面积（代数和） | 原函数 |
| 变量表示 | 积分变量可用任意符号 | 必须与微分变量一致 |
| 计算方式 | 通过极限定义 | 通过求原函数 |
六、典型例题解析
例题1：用定义计算∫₀¹ x² dx
解：
- 等分区间：取xᵢ = i/n，Δxᵢ = 1/n
- 取右端点ξᵢ = i/n
- 黎曼和：
[ S_n = \sum_{i=1}^n (i/n)^2·(1/n) = \frac{1}{n^3}\sum i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} ] - 取极限：
[ \lim_{n→∞} S_n = \frac{1}{3} ]
例题2：证明不等式 1 < ∫₀¹ eˣ² dx < e
解：
- 在[0,1]上，1 ≤ eˣ² ≤ e
- 由比较性质：
[ \int₀¹ 1dx < \int₀¹ eˣ² dx < \int₀¹ edx ] - 计算得：1 < 积分值 < e
七、常见误区警示
| 错误类型 | 正确理解 |
|---|---|
| 混淆定积分与不定积分 | 定积分是数，不定积分是函数族 |
| 忽略积分区间 | 定积分的结果依赖于积分区间 |
| 错误使用对称性 | 必须先验证函数的奇偶性 |
| 误用积分中值定理 | ξ的位置一般无法具体确定 |
八、现代应用实例
- 物理学：计算变力做功、质心位置
- 经济学：计算总收益、消费者剩余
- 工程学：计算材料应力、流体压力
- 概率论：连续型随机变量的概率密度积分